Exponenciación

La exponenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales.

En la nomenclatura de la exponenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por si misma:

2⁴ = 2·2·2·2 = 16

Una de las definiciones de la exponenciación, por recursión, es la siguiente:

x¹ = x

x^a = x·x^a-1.

Si en la segunda expresión se toma a=1, se tiene que x¹ = x·x⁰. Al dividir los dos términos de la igualdad por x (que se puede hacer siempre que x sea distinto de 0), queda que x⁰=1.

Datos importantes para entender los exponentes:

El exponente dice cuantas veces un número se multiplicará

Un exponente negativo significa dividir, lo contrario de multiplicar aquí se tendrá que dividir.

Un exponente fraccional como 1/n significa tomar la raiz n-ésima .

Ya analizamos el punto 1, y en ese punto nos dimos cuenta realmente que una potencia dice las veces que una base se multiplica

Ahora veamos el punto 2

Ojo esto es siempre válido, siempre y cuando x no sea cero, si x es cero, el resultado no está definido.

Ahora veamos el punto 3

Aquí es importante observar bien que ocurre con la potencia.

Si entendemos esos 3 puntos, entonces entenderemos a los exponentes y las leyes que se basan en esas ideas. Para no hacerlo muy teórico, hemos realizado una tabla donde podrás observar las leyes y ejemplos a su lado.

Ejemplo 1: Simplificar la siguiente fracción algebraica

 Para poder simplificar debemos analizar lo siguiente, solamente tenemos potencias negativas que salen de la agrupación paréntesis, entonces lo que haremos será aplicar la ley para exponentes negativos, y con eso nos daremos cuenta que la expresión que está en el numerador pasará al denominador pero con exponente positivo, y la que está en el denominador pasará al numerador pero con exponentes positivo.

De esa forma, ya podemos aplicar las potencias a las agrupaciones.

Podemos separar los productos y aplicar las leyes básicas, para la división de potencias.

Aquí nos quedaría lo siguiente:

Ahora tendríamos lo siguiente:

Y listo¡¡¡¡

Números pares e impares

Los números pares se pueden dividir exactamente en grupos de dos. El número cuatro se puede dividir en dos grupos de dos.

Los números impares NO se pueden dividir exactamente en grupos de dos. El número cinco se puede en dos grupos de dos y un grupo de uno.

Propiedades básicas de los pares:

1.-La serie de números pares es infinita (ya que la serie natural y entera también lo es).

2.-La serie de pares son los múltiplos de 2 y forman una progresión aritmética de razón 2 y primer término el cero (dentro del o de los números naturales)

3.-La mitad de los números natural y enteros son los números pares y la otra los impares.

4.-El único número primo par es el 2, los demás pares son números compuestos (ya que son multiplos de dos).

5.-Dentro del campo de los números naturales el 0 es el primer par.

Los números pares siempre terminan con un dígito de 0,2,4,6 u 8.

2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30 son números pares.

Propiedades básicas de los impares:

1.-La serie impar es infinita (ya que lo es la par y todo impar es igual un Par+1.

2.-El primer número impar es el 1 (en la serie natural).

3.-La serie impar es la par más la unidad y forman una progresión aritmética de razon 2 y primer término el 1 (dentro de la serie natural).

4.-La mitad de los números naturales y enteros son impares y la otra son pares.

5.-La serie infinita de los números primos, menos el 2, están incluidos en la serie impar (sino fuera así habría primos en la serie par, cosa ilógica, ya que los pares son multiplos de 2 y divisibles por este).

Los números impares siempre terminan con un dígito de 1,3,5,7, o 9.

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31 son números impares.

Sumar y restar

Cuando sumas (o restas) números pares e impares el resultado siempre es:

Operación	Resultado	Ejemplo (rojo es impar, azul es par)
Par + Par	Par	2 + 4 = 6
Par + Impar	Impar	6 + 3 = 9
Impar + Par	Impar	5 + 12 = 17
Impar + Impar	Par	3 + 5 = 8

Multiplicar

Cuando multiplicas números pares e impares el resultado siempre es:

Operación	Resultado	Ejemplo (rojo es impar, azul es par)
Par × Par	Par	4 × 8 = 32
Par × Impar	Par	4 × 7 = 28
Impar × Par	Par	5 × 8 = 40
Impar × Impar	Impar	5 × 7 = 35

Lenguaje Algebraico. Otras formas Matemáticas.

Las expresiones algebraicas permiten traducir de lenguaje común a lenguaje algebraico e ir escribiendo la ecuación correspondiente para poder resolverla y calcular la incógnita buscada.

Una expresión algebraica es una combinación de incógnitas con números, relacionadas mediante operaciones matemáticas. Son expresiones de primer grado, de segundo grado, con una o con más incógnitas, etc.

Ejemplos de expresiones algebraicas pueden ser:

Cualquier número que multipliques por 2 se convertirá en par, por tanto, multiplicando por 2 cualquier número nos aseguramos que es par.

Un número impar:      2x+1 ó 2x-1

Si a un número par, le sumamos o le restamos 1, se convierte en impar.

Por eso, nos aseguramos que es par multiplicándolo por 2 y luego lo convertimos en impar sumando o restando 1.

Dos números consecutivos: x , x+1

Para que dos números sean consecutivos, el primero puede ser cualquier número (x) y al segundo le sumamos 1.

Si seguimos sumando 1, los números siguen siendo consecutivos (x+2, x+3, x+4…)

Dos números pares consecutivos:   2x, 2x+2

Los números pares van de dos en dos. Por tanto, para obtener el siguiente número a un número par le sumamos 2.

Dos números impares consecutivos: 2x+1, 2x+3

Los números impares también van de dos en dos. Por tanto, una vez tenemos un número impar, le tenemos que sumar 2 para tener el siguiente.

El cuadrado de un número:  x²

El cubo de un número:  x³

El exceso de un número sobre otro:  x-y

El exceso de un número sobre 150:  x-150

El exceso de 200 sobre un número:  200-x

Cómo traducir a lenguaje algebraico expresiones relacionadas con porcentajes:

El 23% de un número: 0,23x

Un numero reducido un 25%: 0,75x

Un número aumentado un 30%: 1,30x

El aumento del 7% de un número: 1,07x (¡cuidado! 1,7 sería un aumento del 70%)

Cómo traducir a lenguaje algebraico expresiones relacionadas con edad

La edad de una persona: x

La edad de una persona hace 4 años: x-4

La edad de una persona dentro de 5 años: 5+x

El doble de la edad: 2x

6 años más que el triple de su edad: 3x+6

Cómo traducir a lenguaje algebraico expresiones relacionadas con geometría

El área de un cuadrado de lado x: x²

El perímetro de un cuadrado de lado x: 4x

El área de un rectángulo de base x y altura x+2: x(x+2)

El perímetro de un rectángulo de base x y altura x+2: 2x + 2(x+2)

Frase	Expresión algebraica
La suma de 2 y un número	2 + d  (la "d" representa la cantidad desconocida)
3 más que un número	x + 3
La diferencia entre un número y 5	a - 5
4 menos que n	4 - n
Un número aumentado en 1	k + 1
Un número disminuido en 10	z - 10
El producto de dos números	a • b
Dos veces la suma de dos números	2 ( a + b)
Dos veces un número sumado a otro	2a + b
Cinco veces un número	5x
Ene veces (desconocida) un número conocido	n multiplicado por el número conocido
El cociente de dos números	a  b
La suma de dos números	x + y
10 más que n	n + 10
Un número aumentado en 3	a + 3
Un número disminuido en 2	a – 2
El producto de p y q	p • q
Uno restado a un número	n – 1
El antecesor de un número cualquiera	x – 1
El sucesor de un número cualquiera	x + 1
3 veces la diferencia de dos números	3(a – b)
10 más que 3 veces un número	10 + 3b
La diferencia de dos números	a – b
La suma de 24 y 19	24 + 19 = 43
19 más que 33	33 + 19 = 52
Dos veces la diferencia de 9 y 4	2(9 – 4) = 18 – 8 = 10
El producto de 6 y 16	6 • 16 = 96
3 veces la diferencia de 27 y 21	3(27 – 21) = 81 – 63 = 18
La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al cuadrado	9 2 – 4 2 = 81 – 16 = 65
El cociente de 3 al cubo y 9	3 3 / 9 = 27 / 9 = 3
12 al cuadrado dividido por el producto de 8 y 12	12 2 ÷ (8 • 12) = 144 ÷ 96 = 1,5

Bases Matemáticas

Vamos a ver unos cuantos símbolos que utilizaremos a lo largo del curso.

Cuantificador existencial:

En matemáticas para decir que existe un cierto elemento usamos el símbolo:

Cuantificador existencial y unidad:

Si ademas queremos asegurar que existe un único elemento que cumple una cierta propiedad:

!

Cuantificador universal:

Si lo que queremos es expresar la totalidad de un conjunto de elementos utilizamos el símbolo: Se lee para todo.

 ∀

Tal que:

Cuando queremos representar en matemática la expresión tal que se utiliza el símbolo:

/ ó :

Ejemplo:

Si queremos expresar que la ecuación x+2=3, tiene una única solución.

Podemos decir que: existe un x talque x+2=3.

O bien:

x : x+2=3

La expresión para todo x,se cumple que x=x, se podría escribir como:}

 ∀x,x=x

Ordenes parciales.

Es como comparar dos elementos.

     Comparación:

• El símbolo <, significa menor que, así a<b, significa que a es menor que b.

• El símbolo >, significa mayor que, así a>b, significa que a es mayor que b.

• El símbolo ≥, significa mayor o igual que, así a≥b, significa que a es mayor o igual que b.

Teoría de Conjuntos.

Pertenece:

En matemáticas para decir que un elemento x esta incluido en un conjunto A utilizamos el simbolo ϵ,de esta forma la expresión:

xϵA

significa que x pertenece a A.

No Pertenece:

x ∉ A.

significa que x no pertenece a A.

Inclusión de conjuntos:

El símbolo ⊂ significa estar contenido en, así A⊂ B, significa que el conjunto A esta incluido en B.

El símbolo ⊆ significa estar contenido o ser igual a, así A⊆B, significa que el conjunto A esta incluido o es igual a B.

Ejercicios: Problemas verbales

Problemas verbales sobre ecuaciones lineales.

Les mostrare algunos ejercicios sobre como resolver simples problemas usando ecuaciones lineales.

La suma de $4$ enteros consecutivos es $70$.¿Cuál es el tercero número en esta sucesión?.

Nos pide hallar el tercer numero en la sucesión. Para poder resolver esto tenemos que recurrir al álgebra, para poder representar los 4 números enteros con una variable.

Los números enteros pueden ser el: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 y así sucesivamente. No conocemos ningún valor para eso podemos representarlos por medio de la letra x. Podemos decir que el primer numero entero es x, entonces, ¿como hacemos para saber cual es el siguiente?, muy fácil solo le sumamos 1 a x y listo.

De esta manera los cuatro enteros consecutivos serian: x+x+1+x+2+x+3 y esto nos dice que es igual a 70 entonces: x + x+1 + x+2 + x+3= 70, y resolvemos.

 x + x+1 + x+2 + x+3= 70

4x+6=70

4x=64

x=16

Tenemos que el primer valor es 16, pero nos pide el tercero, simplemente le sumamos +2 y nos da 18.

La suma de $3$ números impares consecutivos es $267$.¿Cuál es el primero número en esta sucesión?

En este ejercicio realizaremos un procedimiento parecido al anterior, la única diferencia es que esta ves nos dice que sumemos tres números impares,¿y como hacemos esto?.

Fácil, tomemos como referencia que 3,5,7 son los tres números impares, pero necesitamos pasarlos en valor de x, entonces decimos que 3 seria x y como llegamos al 5 (solo tendrías que sumarle +2 y ya.), algo parecido pasaría para llegar a 7 (sumale +4 y listo).

entonces la ecuación nos quedaría de esta forma: x + x+2 + x+4=267

y solo falta resolver:

x + x+2 + x+4=267

3x+6=267

3x=261

x=87 y esta seria la respuesta ya que nos pide el primer numero de la sucesión.

Si tienes 50 onzas de una solución salina al 25%, entonces ¿Cuántas onzas de solución salina al 10% debes agregar para terminar con una nueva solución salina al 15%?

En este ejercicio nos pide encontrar cuantas onzas agregar a una solución para que su porcentaje de salinidad cambie. Para ello realizaremos una tabla como se muestra a continuación.

	Cantidad total de solución	% salinidad	Cantidad total de sal
Solución Inicial	50 onzas	25%	12.5
Solución agregada	X	10%	0.1x
Solución resultante	50+x	15%	0.15(50+x)=12.5+0.1x

                                                                                                          En la primera fila tenemos la solución inicial, en la segunda esta representada la solucion que se debe agregar, en donde x es la solucion total que se debe agregar para que su porcentaje de salinidad sea 10% y para poder calcular su porcentaje de sal multiplicamos ( 0.1 por x).

La cantidad de solucion restante seria la suma de la inicial mas la agregada ( 50+x), con un porcentaje de salinidad al 15%( que como se que esta al 15%, porque el ejercicio me lo dice), y ahora la parte importante de problema como hallar la cantidad total de sal en la solucion, lo primero es hallar el 15% de la solucion( que estaría representada de esta forma 0.15(50+x) y esto seria igual a la suma de el total de sal existente en la solucion (12.5+0.1x)

Y esta es la ecuación que tenemos que resolver:

0.15(50+x)=12.5+0.1x

7.5+0.15x=12.5+0.1x

0.15x-0.1x=12.5-7.5

0.05x=5

X=100 y genial ya tenemos lo que necesitamos, sabemos cuanto hay que agregarle para que se cumpla todo lo que nos piden.

	Cantidad total de solución	% salinidad	Cantidad total de sal
Solución Inicial	50 onzas	25%	12.5
Solución agregada	100 onzas	10%	10
Solución resultante	150 onzas	15%	22.5

Cuando está lloviendo, sueles quedarte en casa y ver la televisión. El número de horas de televisión que viste en una semana dada es dos veces el número de días lluviosos de esa semana. En la siguiente tabla, 
$y$yy es el número de horas de televisión que ves en una semana y $x$x es el número de días lluviosos de esa semana.